Mean Curvature

定义 Definition

mean curvature：平均曲率。在微分几何与曲面理论中，用来描述曲面在某一点“弯得有多厉害”的量，通常等于该点两条主曲率（最大与最小法向曲率）的平均值。在许多约定下，平均曲率为 0 的曲面称为极小曲面（如肥皂膜模型）。

发音 Pronunciation

/miːn ˈkɝːvətʃər/

例句 Examples

The mean curvature is zero on a minimal surface.
极小曲面上的平均曲率为零。

In differential geometry, mean curvature helps describe how a surface bends in space and is central to the study of curvature flow.
在微分几何中，平均曲率用于刻画曲面在空间中的弯曲方式，并且是研究曲率流的重要核心概念。

词源 Etymology

该短语由 mean（“平均的”）+ curvature（“曲率；弯曲程度”）组成，字面意思就是“曲率的平均值”。作为术语，它在 19 世纪以来的曲面微分几何发展中逐渐固定，用来统一描述曲面局部弯曲的“平均趋势”，并在几何分析与物理模型（如表面张力、形变能量）中得到广泛应用。

相关词 Related Words

• Average
• Curvature
• Gaussian Curvature
• Principal Curvature
• Minimal Surface
• Mean Curvature Flow
• Second Fundamental Form
• Surface

文学与经典作品 Literary Works

• Manfredo P. do Carmo，《Differential Geometry of Curves and Surfaces》：系统介绍曲面曲率概念，包含平均曲率与主曲率的标准定义与例子。
• John Oprea，《Differential Geometry and Its Applications》：以应用视角讲解曲率（含平均曲率）及其几何意义。
• Bennett Chow 等，《The Ricci Flow: Techniques and Applications》（相关章节会涉及曲率流思想；平均曲率流常与之并列学习）。
• Gerhard Huisken，论文 “Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres”：平均曲率流领域的经典成果之一。